여러 가지 순열

이미지: Google Flow(Nano Banana 2.1)로 생성한 AI 이미지

네 명의 학생이
원탁에 둘러앉아
회의를 하려고 한다.

A

D

C

B

B

A

D

C

강강술래

손을 잡고 둥글게 돌며 춤을 춘다.
돌 때마다 각자 서 있는 ‘위치’는 바뀌지만,
내 왼쪽·오른쪽 친구는 바뀌지 않는다.

회전목마

회전목마가 돌면
앞에 보이던 말이 뒤로 간다.
하지만 말들이 늘어선 순서는 그대로!

시계 방향으로
읽기

어디서부터 읽느냐에 따라 일렬로는 4가지

→ 원형으로 놓으면 모두 같은 1가지

묶음 1

abcd · bcda
cdab · dabc

묶음 2

abdc · bdca
dcab · cabd

묶음 3

acbd · cbda
bdac · dacb

묶음 4

acdb · cdba
dbac · bacd

묶음 5

adbc · dbca
bcad · cadb

묶음 6

adcb · dcba
cbad · badc

4!

4

사진: 14GTR, CC0, Wikimedia Commons

이 시계에는 숫자가 하나도 없다.
그래도 12시 표시(점 2개) 하나만 있으면
나머지 자리가 몇 시인지 모두 정해진다.

A 고정

A의 자리를 기준으로 정하면
나머지 자리는 1번~4번으로 구별된다.

B, C, D, E를 1번~4번 자리에 일렬로 앉히는 경우의 수

4! = (5−1)! = 24

= (n−1)!

관점 ① 회전목마

n!을 회전으로 겹치는 n가지로 나눈다

관점 ② 시계

한 명을 고정하고 나머지 (n−1)명을 일렬로

회장과 부회장을 포함한 5명의 회원이 원탁에 둘러앉을 때, 다음을 구하시오.

⑴ 5명이 앉는 경우의 수
⑵ 회장과 부회장이 서로 이웃하게 앉는 경우의 수

⑴ 5명이 앉는 경우의 수

5명을 원형으로 배열하는
원순열이므로 (n−1)!을 쓴다.

⑵ 회장과 부회장이 이웃하는 경우

① 두 사람을 한 사람처럼 묶는다
→ 4명의 원순열 (4−1)! = 3! = 6
② 묶음 안에서 자리 바꾸기
→ 2! = 2

할머니와 할아버지를 포함한 6명의 가족이 원형 식탁에 둘러앉아 식사를 할 때, 다음을 구하시오.

⑴ 6명이 앉는 경우의 수
⑵ 할머니와 할아버지가 서로 마주 보고 앉는 경우의 수

⑴ 6명이 앉는 경우의 수

6명을 원형으로 배열하는
원순열이므로 (n−1)!을 쓴다.

⑵ 두 분이 마주 보는 경우

① 할머니 자리를 기준으로 고정
→ 할아버지는 마주 보는 1곳뿐
② 남은 4명은 자리가 정해진
4칸에 일렬로 앉는다

정팔각형 모양의 구절판에 서로 다른 9가지의 간식을 구분하여 담는 경우의 수를 구하시오.

(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

사진: 뚱표아빠의 세상사는 이야기, CC BY 4.0, Wikimedia Commons

핵심 정리

• 원순열: 원형으로 배열하는 순열

• 원순열의 수 = (n−1)!

• 이웃하면 → 묶고, 내부 순서 곱하기

• 마주 보기 등 → 한 명 고정 후 일렬로

(7−1)! = 6! = 720

남학생 3명 원순열 (3−1)! = 2, 사이사이 3자리에 여학생 3! = 6 → 2 × 6 = 12

부모님을 묶어 4명 → (4−1)! = 6, 자리 바꾸기 2! → 6 × 2 = 12